1. Одредити минималан збир површина квадрата и једнакостраничног троугла ако им је задан збир обима О=12cm.
2 Одреди максималну запремину уписаног ваљка у тетраедар странице a = 6cm
3 Одреди максималну висину које тело постиже вертикалним хицем почетном брзином v = 12 m/s
Објављено под задаци
Нека је дат многоугао чија темена у неком Правоуглом координатном систему имају целобројне координате. Површина оваквог многоугла одређује се на веома једноставан начин применом једне формуле која захтева само познавање броја темена и броја свих тачака датог координатног система које имају целобројне координате и које се налазе у унутрашњости датог многоугла.
Нека је i – број тачака координатног система које имају целобројне координате и које су у унутрашњости многоугла, и нека је b – број темена многоугла, која су по претпоставци већ тачке са целобројним координатама, тада се површина овог многоугла рачуна по формули
P=i+b/2 – 1
Претходна формула ствар је такозване Пикове теореме, коју је описао аустријски математичар Георг Александер Пик, 1899. године.
На пример, површина нашег шестоугла са слике је: P=12+6/2 – 1 =14
Објављено под занимљиви текстови
МАТЕМАТИКА СТАРОГ ЕГИПТА
Једна од најранијих култура и цивилизација што их је човек створио на Земљи била је староегипатска. И данас ћемо се још увек поновно и поновно задивити пред остацима те велике баштине, разасутим по музејима света и у својој постојбини: било да је реч о уметничким делима у музеју у Каиру, нпр. из збирке нађене у Тутанкамоновој гробници, било да мотримо остатке чудесне грађевине краљице Хатшепсут, њен храм у Дер ел Бахарију, или велике пирамиде, храм у Луксору или гробница у Долини краљева, било да читамо шифриране текстове из староегипатске Књиге мртвих, било да из сачуваних скица и описа покушамо реконструисети како су подизане њихове монументалне грађевине… У сваком ћемо случају остати изненађени пред снагом духа и воље и пред дубином мисли што су никле и развиле се у долини Нила пре неколико хиљада година.
И староегипатска је математика једна од најранијих епоха развоја те науке. Посебно једна од првих грана математике, геометрија, већ самим својим називом открива и своје порекло. То је по постанку грчка реч која би, дословно преведена, значила „мерење земље“. А управо као мерење земље геометрија се широко развила већ у старом Египту. Пословична изрека, „Египат је дар Нила“, довољно је позната. Без блатњавих жутих вода те реке што су хиљадама година натапале земљу, не би се развила тако богата цивилизација старог Египта. Но, после редовних великих поплава Нила, сваке би се године границе земљишних поседа избрисале и требало их је поновно одредити – ваљало је, дакле, премеравати земљишта. Изградња величанствених храмова, пирамида, кипова, такође је захтевала одређена открица из геометрије.
ПАПИРУС
О староегипатској математици дознајемо понајвише из два позната папируса: Ахмесовог или Рхиндовог (лево) и Московског. Рхиндов папирус је 1858. открио шкотски египтолог Хенрy Рхинд у Луxору. То је заправо свитак дужине 6 м, ширине 30 цм. Писао га је писар Ахмес око 1650 г. пр. Кр. и вероватно је настао тако што је Ахмес преписивао неки спис стар 200 година. Данас се чува у Британском музеју у Лондону, а садржи 87 математичких проблема.
То је једна комплетна „студијеа о свим стварима, поглед у унутрашњост свега што постоји, о тамним тајнама“, како пише у самом папирусу. Ахмесов папирус је збирка таблица и вежби, реторичка у својој форми, која је намењена углавном учењу математике. Садржи вежбе из аритметике, алгебре, геометрије и разних мерења. Московски папирус открио је 1893. године В. С. Голеницхев. Дуг је 6 м, широк 8 цм. Садржи 25 проблема, од којих многи нису читљиви. Чува се у Московском музеју.
КАКО СУ РАЧУНАЛИ СТАРИ ЕГИПЋАНИ
Стари Египћани су имали развијени децимални систем и своје ознаке за бројеве:
Хијероглифским знацима се писало по камену како с лева на десно, тако и обрнуто, а понекад и одозгор према доле. Различито писање не ствара проблеме код читања бројева јер египатски начин писања бројева није позицијски. Хијератички су знаци уведени за брзо писање по папирусу,дрвету или грнчарији.
Осим наведених, употребљавали су се повремено и неки посебни зна
кови за бројеве који нису декадне јединице. Нпр. за број два цртали би се говеђи рогови, за број пет морска звезда, а људска глава била је и ознака за број седам (7 отвора). Ево неколико примера записа неких бројева:
Користили су бројевни систем с базом 10, а једна од главних разлика између хијератичких бројева и нашег бројног система јесте да хијератички бројеви нису били писани у систему месних вредности, тако да су познате могле бити писане било којим редоследом. Хијератички је систем адицијски систем. Видимо да се, рецимо, број 249 записује као 249 = 2 100 + 4 10 + 9, па у запису имају два знака за 100, четири знака за 10 и девет знакова за 1.
Египатски бројни систем није био погодан за рачунање, али је трговина захтевала сабирање, одузимање, множење, дељење те рад с разломцима.
САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ
САБИРАЊЕ
Сабирало се скупљањем истих симбола заједно и претварањем њих 10 у један симбол :
ОДУЗИМАЊЕ
Одузимало се тако да се одмицао одређени број истих симбола. Ово је знало бити и компликовано кад се морало одузети више симбола него што их је било присутно у приказу.
Нпр., ево како би израчунали 63-38.
Од 6 десетица можемо одузети 3 десетице, али можемо уклонити само 3 јединице. Још нам преостаје 5 јединица за одузимање.
Једна од преосталих десетица потребна је да се омогући одузимање следећих 5 јединица јер :
1 десетица – 5 јединица = 10 јединица – 5 јединица = 5 јединица.
Тачан механизам одузимања који су користили није сасвим јасан, иако ова илустрација показује којим је редоследом писар могао провести одузимање.
МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ
МНОЖЕЊЕ
Множење природних бројева одаје нам да су се служили и потенцијама броја 2. Стари Египћани множили су два броја користећи удвостручавање бројева. Погледајте слику.
У плавом правоугаонику приказан је њихов запис, а сиви правоугаоник и рачун испред правоугаоника објашњава методу.
Број су удвостручавали сабирајуци га самог са собом, дакле само су записали бројеве један испред другога и претворили сваких 10 истих симбола.
Како нису имали развијен позицијски запис бројева, морамо старим Египћанима признати велику спретност и економичност у рачунању.
ДЕЉЕЊЕ
Дељење у старих Египћана захтијевало је кориштење множења и врло често употребу разломака. Погледајмо прво пример дељења кад је резултат цео број.
Размишљање је следеће:
• 125 предељено с 5 даје исти резултат као 5 помножено с ??? = 125
• множи 5 узастопно с вишекратницима од 2 све док не добајеш 125 (као код множења)
• збир црвено означених бројева у плавом правоугаонику даје рјешење.
Ова метода темељи се на једноставној математичкој чињеници која је била позната и египатским писарима, а то је да су множење и дељење инверзне операције, тј.
а∙б = ц ако и само ако је ц : б = а.
РАЗЛОМЦИ
На посебан су начин означавали разломке, тако специфичан да нема сличности ни с једном другом културом. Разломак с броилацом један записивао се тако да се изнад знака за имениоц ставио посебан знак са значењем „део“. Сви разломци писали су се с јединичним броилацом, а ако то није било могуће, онда су га приказивали као збир таквих.
Кад је писар морао рачунати с разломцима, био је суочен с многим проблемима, углавном везаним за њихово записивање. Њихове методе записивања нису им допуштале да пишу једноставне разломке као што су 3/5 или 15/33 зато што су сви разломци морали бити приказани с броилацом 1. Ако то није било могуће, онда се разломак морао записати као збир разломака с броилацом 1. Разлика у томе је био разломак 2/3. Разломци су записивани тако да је изнад имениоца стављен хијероглиф који је означавао „отворена уста“ .Данас поједностављено разломке с јединицом у броиоцу пишемо с косом цртом иза које слиједи имениоц, нпр. 1/2 записујемо као /2, 1/4 као /4, док се разлика, 2/3, пише //3.
Стари Египћани веровали су да их „Рx“ симбол, тј. симбол бога Хоруса штити од зла. Зато су и у математику уградили симболику па су развили и својеврстан бројевни систем који се користио за преписивање лекова, пределу земље или сјемења. Разломке су творили тако што су комбиновали поједине делове симбола ока бога Хоруса. Сваки део имао је различиту вредности. Целокупни симбол ока има вредности 1, а цео систем се темељи на предели на половице. Пола од 1 је 1/2, пола од 1/2 је 1/4, итд. све до 1/64.
Нпр., да бисмо приказали разломак 5/8, комбинујемо разломке 1/8 и 1/2
Објављено под занимљиви текстови
Математика у гимназији 